Riešenie problémov s analytickými funkciami

1. Príklad: Výpočet komplexnej integrálnej funkcie
Predpokladajme, že máme funkciu $f\left(z\right)=\frac{1}{z}$f(z)=z1​, kde $z$z je komplexné číslo. Našou úlohou je vypočítať integrál tejto funkcie pozdĺž kruhu s polomerom $r$r a stredom v pôvode.

Riešenie:
Použijeme parametrizáciu kruhu, kde $z\left(t\right)=r{e}^{it}$z(t)=reit pre $t\in [0,2\pi ]$t∈[0,2π]. Preto:

Takže integrál je:

Výsledok: $2\pi i$2πi

2. Príklad: Použitie Cauchyho integrálneho vzorca
Predpokladajme, že máme analytickú funkciu $f\left(z\right)$f(z) definovanú v oblasti obsahujúcej kruh $\mid z-z_0\mid =R$∣z−z0​∣=R. Použijeme Cauchyho integrálny vzorec na vypočítať hodnotu $f\left(z\right)$f(z) v bode $z_0$z0​.

Riešenie:
Cauchyho integrálny vzorec hovorí, že:

3. Príklad: Riešenie diferenciálnej rovnice pomocou analytických funkcií
Zvážme diferenciálnu rovnicu $f^{\prime \prime }\left(z\right)+f\left(z\right)=0$f′′(z)+f(z)=0. Našou úlohou je nájsť analytické riešenie tejto rovnice.

Riešenie:
Rovnica má charakteristickú rovnicu ${\lambda }^2+1=0$λ2+1=0, ktorá má riešenia $\lambda =\pm i$λ=±i. Preto je všeobecné riešenie:

kde $A$A a $B$B sú konštanty určené počiatočnými podmienkami.

4. Príklad: Výpočet Laurentovho radu
Zvážme funkciu $f\left(z\right)=\frac{1}{(z-1{)}^2}$f(z)=(z−1)21​. Našou úlohou je nájsť Laurentov rad tejto funkcie okolo bodu $z=1$z=1.

Riešenie:
Laurentov rad funkcie $\frac{1}{(z-1{)}^2}$(z−1)21​ je:

čo je už v správnej forme a nie je potrebné ďalšie rozpisovanie.

5. Príklad: Analýza singularít
Zvážme funkciu $f\left(z\right)=\frac{1}{(z^2+1)}$f(z)=(z2+1)1​. Našou úlohou je identifikovať singularity tejto funkcie.

Riešenie:
Funkcia $\frac{1}{(z^2+1)}$(z2+1)1​ má singularity na miestach, kde $z^2+1=0$z2+1=0. Tieto miesta sú $z=\pm i$z=±i. Tieto singularity sú jednoduché póly.